【泛函分析】

內容介紹

本書根據作者多年來在紐約大學柯朗數學研究所教授二年級研究生泛函分析課程的講義撰寫而成，給出了泛函分析的基本內容以及數學中一些不可缺少的深刻論題，包括自伴運算元的譜分解和譜表示、緊運算元理論、Krein-Milman定理、Gelfand的交換Banach代數理論、不變子空間、强連續單參數半群等。 書中各章短小精闢，並配有習題，易於讀者充分理解所學內容。 本書適合理工科專業、數學專業的大學生、研究生閱讀。

目錄

第1章線性空間1

第2章線性映射7

2.1線性映射生成的代數7

2.2線性映射的名額10

第3章Hahn-Banach定理16

3.1延拓定理16

3.2 Hahn-Banach定理的幾何形式17

3.3 Hahn-Banach定理的延拓20

第4章Hahn-Banach定理的應用24

4.1正線性泛函的延拓24

4.2 Banach極限25

4.3有限可加的不變集函數27

第5章賦範線性空間29

5.1範數29

5.2組織球的非緊性34

5.3等距37

第6章Hilbert空間42

6.1內積42

6.2閉凸集中的**佳逼近點44

6.3線性泛函45

6.4線性張47

第7章Hilbert空間結果的應用51

7.1 Radon-Nikodym定理51

7.2 Dirichlet問題52

第8章賦範線性空間的對偶59

8.1有界線性泛函59

8.2有界線性泛函的延拓60

8.3自反空間63

8.4集合的支撐函數67

第9章對偶性的應用71

9.1加權幂的完備性71

9.2 M.untz逼近定理72

9.3 Runge定理74

9.4函數論中的對偶變分問題75

9.5 Green函數的存在性77

第10章弱收斂81

10.1弱收斂序列的一致有界性82

10.2弱序列緊性85

10.3弱*收斂86

第11章弱收斂的應用88

11.1用連續函數逼近δ函數88

11.2傅裡葉級數的發散性89

11.3近似求積分90

11.4向量值函數的弱解析性和强解析性90

11.5偏微分方程解的存在性91

11.6具有正實部的解析函數的表示94

第12章弱拓撲和弱*拓撲96

第13章局部凸空間拓撲和Krein-Milman定理100

13.1通過線性泛函分離點101

13.2 Krein-Milman定理102

13.3 Stone-Weierstrass定理103

13.4 Choquet定理104

第14章凸集及其極值點的例子109

14.1正線性泛函109

14.2凸函數110

14.3完全單調函數112

14.4 Carathéodory和Bochner定理116

14.5 Krein的一個定理120

14.6正調和函數121

14.7 Hamburger矩問題122

14.8 GBirkho猜測123

14.9 De Finetti定理127

14.10保測映射128

第15章有界線性映射131

15.1有界性和連續性131

15.2强拓撲和弱拓撲135

15.3一致有界原理136

15.4有界線性映射的複合137

15.5開映射原理137

第16章有界線性映射的例子142

16.1積分運算元的有界性142

16.2 Marcel Riesz凸性定理145

16.3有界積分運算元的例子147

16.4雙曲方程的解運算元152

16.5熱傳導方程的解運算元153

16.6奇异積分運算元，擬微分運算元和Fourier積分運算元156

第17章Banach代數及其基本譜理論157

17.1賦範代數157

17.2函數演算161

第18章交換Banach代數的Gelfand理論165

第19章交換Banach代數的Gelfand理論的應用171

19.1代數C（S）171

19.2 Gelfand緊化171

19.3 *收斂的Fourier級數172

19.4閉組織圓盤上的解析函數173

19.5開組織圓盤內的解析函數174

19.6 Wiener的陶伯定理175

19.7交換的B*代數180

第20章運算元及其譜的例子184

20.1可逆映射184

20.2移位186

20.3 Volterra積分運算元187

20.4 Fourier變換188

第21章緊映射189

21.1緊映射的基本性質189

21.2緊映射的譜理論193

第22章緊運算元的例子199

22.1緊性的判別準則199

22.2積分運算元200

22.3橢圓偏微分運算元的逆202

22.4由拋物型方程定義的運算元203

22.5殆正交基204

第23章正的緊運算元206

23.1正的緊運算元的譜206

23.2隨機積分運算元208

23.3二階橢圓運算元的逆210

第24章積分方程的Fredholm理論212

24.1 Fredholm行列式和Fredholm預解式212

24.2 Fredholm行列式的乘法性質219

24.3 Gelfand-Levian-Marchenko方程和Dyson的公式221

第25章不變子空間225

25.1緊運算元的不變子空間225

25.2不變子空間套227

第26章射線上的調和分析233

26.1調和函數的Phragmén-Lindel f原理233

26.2抽象Phragmén-Lindel f原理234

26.3漸進展開243

第27章名額理論246

27.1 Noether名額246

27.2 Toeplitz運算元250

27.3 Hankel運算元256

第28章Hilbert空間上的緊對稱運算元259

第29章緊對稱運算元的例子266

29.1卷積266

29.2一個微分運算元的逆268

29.3偏微分運算元的逆269

第30章迹類和迹公式271

30.1極分解與奇异值271

30.2迹類，迹範數，迹272

30.3迹公式275

30.4行列式281

30.5迹類運算元的例子和反例282

30.6 Poisson和公式287

30.7如何將運算元的名額表示成迹的差288

30.8 Hilbert-Schmidt類290

30.9 Banach空間上的運算元的迹和行列式291

第31章對稱運算元、正規運算元和酉運算元的譜理論293

31.1對稱運算元的譜294

31.2對稱運算元的函數演算296

31.3對稱運算元的譜分解298

31.4 *連續譜、奇异譜和點譜300

31.5對稱運算元的譜表示301

31.6正規運算元的譜分解305

31.7酉運算元的譜分解306

第32章自伴運算元的譜理論311

32.1譜分解311

32.2利用Cayley變換構造譜分解320

32.3自伴運算元的函數演算321

第33章自伴運算元的例子325

33.1無界對稱運算元的延拓325

33.2對稱運算元延拓的例子，虧指數327

33.3 Friedrichs延拓331

33.4 Rellich擾動定理334

33.5矩問題337

第34章運算元半群343

34.1强連續的單參數半群344

34.2半群的構造349

34.3半群的逼近352

34.4半群的擾動356

34.5半群的譜理論358

第35章酉運算元群363

35.1 Stone定理363

35.2遍歷理論365

35.3 Koopman群367

35.4波動方程369

35.5平移表示370

35.6 Heisenberg交換關係376

第36章强連續運算元半群的例子382

36.1由拋物型方程定義的半群382

36.2由橢圓型方程定義的半群382

36.3半群的指數型衰减386

36.4 Lax-Phillips半群390

36.5障隘外部的波動方程391

第37章散射理論395

37.1擾動理論395

37.2波運算元397

37.3波運算元的存在性399

37.4波運算元的不變性406

37.5比特勢散射406

37.6散射運算元407

37.7 Lax-Phillips散射理論408

37.8散射矩陣的*點414

37.9自守波動方程415

第38章Beurling定理426

38.1 Hardy空間426

38.2 Beurling定理427

38.3 Titchmarsh卷積定理434

附錄A Riesz-Kakutani表示定理439

A.1正線性泛函439

A.2體積442

A.3函數空間L 444

A.4可測集和測度446

A.5 Lebesgue測度和積分450

附錄B廣義函數理論451

B.1定義和例子451

B.2廣義函數的運算452

B.3廣義函數的局部性質454

B.4在偏微分方程中的應用460

B.5 Fourier變換464

B.6 Fourier變換的應用472

B.7 Fourier級數473

附錄C Zorn引理475

關鍵字索引476

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【泛函分析導論及應用】

 內容簡介

本書是學習泛函分析的一部優秀入門書，被歐美眾多大學廣泛用作數學系、物理系大學生和研究生的教材.全書共11章，包括度量空間、賦範空間、巴拿赫空間、希爾伯特空間、不動點定理及其應用、逼近論、賦範空間中線性運算元的譜論、賦範空間中的緊線性運算元及其譜論、有界自伴線性運算元的譜論、希爾伯特空間中的無界線性運算元、量子力學中的無界線性運算元等內容.本書精選900多道習題，並給出了解答.

作者簡介

歐文·克雷斯齊格（Erwin Kreyszig）德裔加拿大籍應用數學家，在德國達姆施塔特工業大學獲得博士學位，曾任職於美國斯坦福大學、加拿大渥太華大學、美國俄亥俄州立大學、奧地利格拉茨科技大學、加拿大溫莎大學和加拿大卡爾頓大學等高校。 他是應用數學領域的先驅，主要研究課題是非波複製線性系統，另著有Advanced Engineering Mathematics和Differential Geometry等書。

目錄

第1章度量空間1

1.1度量空間2

1.2度量空間的其他例子7

1.3開集、閉集和鄰域13

1.4收斂性、柯西序列和完備性18

1.5例子——完備性的證明24

1.6度量空間的完備化30

第2章賦範空間和巴拿赫空間35

2.1向量空間36

2.2賦範空間和巴拿赫空間42

2.3賦範空間的其他性質48

2.4有限維賦範空間和子空間51

2.5緊性和有限維55

2.6線性運算元59

2.7有界線性運算元和連續線性運算元66

2.8線性泛函75

2.9有限維空間中的線性運算元和泛函81

2.10運算元賦範空間和對偶空間85

第3章內積空間和希爾伯特空間92

3.1內積空間和希爾伯特空間93

3.2內積空間的其他性質99

3.3正交補與直和103

3.4規範正交集和規範正交序列110

3.5與規範正交序列和規範正交集有關的級數117

3.6完全規範正交集和完全規範正交序列122

3.7勒讓德、埃爾米特和拉蓋爾多項式128

3.8希爾伯特空間中泛函的表示138

3.9希爾伯特伴隨運算元143

3.10自伴運算元、酉運算元和正規運算元147

第4章賦範空間和巴拿赫空間的基本定理153

4.1佐恩引理153

4.2哈恩？ C巴拿赫定理156

4.3複向量空間和賦範空間的哈恩？ C巴拿赫定理160

4.4應用到C[a，b]上的有界線性泛函165

4.5伴隨運算元170

4.6自反空間176

4.7範疇定理和一致有界性定理182

4.8强收斂和弱收斂189

4.9運算元序列和泛函序列的收斂194

4.10在序列可和性方面的應用198

4.11數值積分和弱星收斂203

4.12開映射定理210

4.13閉線性運算元和閉圖定理215

第5章巴拿赫不動點定理的應用220

5.1巴拿赫不動點定理220

5.2巴拿赫定理在線性方程組方面的應用226

5.3巴拿赫定理在微分方程方面的應用231

5.4巴拿赫定理在積分方程方面的應用235

第6章在逼近論中的應用241

6.1賦範空間中的逼近241

6.2性和嚴格凸性243

6.3一致逼近248

6.4切比雪夫多項式254

6.5希爾伯特空間中的逼近260

6.6樣條函數263

第7章賦範空間中線性運算元的譜論267

7.1有限維賦範空間中的譜論267

7.2基本概念271

7.3有界線性運算元的譜性質275

7.4預解式和譜的其他性質278

7.5複分析在譜論中的應用283

7.6巴拿赫代數289

7.7巴拿赫代數的其他性質292

第8章賦範空間中的緊線性運算元及其譜論297

8.1賦範空間中的緊線性運算元297

8.2緊線性運算元的其他性質302

8.3賦範空間中緊線性運算元的譜性質307

8.4緊線性運算元的其他譜性質313

8.5含有緊線性運算元的運算元方程319

8.6其他的弗雷德霍姆型定理324

8.7弗雷德霍姆擇一性331

第9章有界自伴線性運算元的譜論337

9.1有界自伴線性運算元的譜性質337

9.2有界自伴線性運算元的其他譜性質341

9.3正運算元344

9.4正運算元的平方根349

9.5投影運算元353

9.6投影的其他性質357

9.7譜族361

9.8有界自伴線性運算元的譜族365

9.9有界自伴線性運算元的譜表示371

9.10譜定理到連續函數的推廣377

9.11有界自伴線性運算元的譜族的性質380

第10章希爾伯特空間中的無界線性運算元384

10.1無界線性運算元及其希爾伯特伴隨運算元385

10.2希爾伯特伴隨運算元、對稱和自伴線性運算元389

10.3閉線性運算元和閉包393

10.4自伴線性運算元的譜性質397

10.5酉運算元的譜表示401

10.6自伴線性運算元的譜表示408

10.7乘法運算元和微分運算元413

第11章量子力學中的無界線性運算元419

11.1基本概念：狀態、觀察量和位置運算元420

11.2動量運算元和海森伯測不准原理423

11.3與時間無關的薛定諤方程428

11.4哈密頓運算元432

11.5與時間相關的薛定諤方程438

附錄A複習與參考資料446

附錄B習題解答457

附錄C參考書目538

人名索引542

索引545