編輯推薦

這套被譽為“數學教育的聖經”的著作，是偉大的數學教育家、格丁根數學學派領袖的不朽經典，值得每一位數學教師精心研讀。 菲利克斯•克萊因是傑出的數學家、熱忱的愛國者，具有非凡的科學洞見、天才的組織能力，中國尤其缺少這樣的人物。

內容簡介

《高觀點下的初等數學》是具有世界影響的數學教育經典，由菲利克斯•克萊因根據自己在格丁根大學為中學數學教師及學生開設的講座所撰寫，書中充滿了他對數學教育的洞見，生動地展示了一流大師的風采。 本書出版後被譯成多種文字，影響至今不衰，對我國數學教育工作者和數學研習者很有啟發。

《高觀點下的初等數學》共分為三卷——第一卷“算術、代數、分析”，第二卷“幾何”，第三卷“精確數學與近似數學”。

作者簡介

菲利克斯·克萊因

（Felix Klein，1849—1925）：

德國傑出的數學家、數學史家和數學教育家，現代國際數學教育的奠基人，對數學研究和數學教育產生了巨大影響，在數學界享有崇高的聲望。

克萊因早年在群論、複變函數論和非歐幾何等領域取得了卓越的成就，1872年發表的埃爾朗根綱領是幾何學劃時代的貢獻。 他是格丁根學派公認的領袖，將許多優秀人才吸引到格丁根大學，創造了科學研究的輝煌，為推動德國現代化發揮了巨大的作用。

目錄

第一卷：算術代數分析

博洽內容獨特風格

——《高觀點下的初等數學》導讀吳大任

紀念克萊因

——介紹《高觀點下的初等數學》齊民友

第一版序

第三版序

英文版序

前言

第一部分算術

第一章自然數的運算

1.1學校裏數的概念的引入

1.2運算的基本定律

1.3整數運算的邏輯基礎

第二章數的概念的第一個擴張

2.1負數

2.2分數

2.3無理數

第三章關於整數的特殊性質

第四章複數

4.1通常的複數

4.2高階複數，特別是四元數

4.3四元數的乘法——旋轉和伸展

4.4中學複數教學

附：關於數學的現代發展及一般結構

第二部分代數

第五章含實未知數的實方程

5.1含一個參數的方程

5.2含兩個參數的方程

5.3含3個參數 λ，μ，ν 的方程

第六章複數域方程

6.1代數基本定理

6.2含一個複參數的方程

第三部分分析

第七章對數函數與指數函數

7.1代數分析的系統討論

7.2理論的歷史發展

7.3中學裏的對數理論

7.4函數論的觀點

第八章角函數

8.1角函數理論

8.2三角函數錶

8.3角函數的應用

第九章關於無窮小演算本身

9.1無窮小演算中的一般考慮

9.2泰勒定理

9.3歷史的與教育學上的考慮

附錄

Ⅰ. 數e和π的超越性

Ⅱ. 集合論

第二卷：幾何

第一版序

第三版序

英譯者序

前言

第四部分最簡單的幾何形體

第十章作為相對量的線段、面積與體積

第十一章平面上的格拉斯曼行列式原理

第十二章格拉斯曼空間原理

第十三章直角座標變換下的空間

第十四章匯出的比特形

第五部分幾何變換

第十五章仿射變換

第十六章射影變換

第十七章高階點變換

17.1反演變換

17.2某些較一般的映射射影

17.3最一般的可逆單值連續點變換

第十八章空間元素改變而造成的變換

18.1對偶變換

18.2相切變換

18.3某些例子

第十九章虛數理論

第六部分幾何及其基礎的系統討論

第二十章系統的討論

20.1幾何結構概述

20.2關於線性變換的不變數理論

20.3不變數理論在幾何學上的應用

20.4凱萊原理和仿射幾何及度量幾何的系統化

第二十一章幾何學基礎

21.1側重運動的平面幾何體系

21.2度量幾何的另一種發展體系

——平行公理的作用

21.3歐幾裡得的《幾何原本》

第三卷：精確數學與近似數學

譯者的話

第一版序

第二版序

第三版序

前言

第七部分實變函數及其在直角座標下的標記法

第二十二章關於單個引數x的闡釋

22.1經驗準確度與抽象準確度，現代實數概念

22.2精確數學與近似數學，純粹幾何中亦有此分野

22.3直觀與思維，從幾何的不同方面說明

22.4用關於點集的兩個定理來闡明

第二十三章實變數x的函數y=f（x）

23.1函數的抽象確定和經驗確定（函數帶概念）

23.2關於空間直觀的引導作用

23.3自然規律的準確度（附關於物質構成的題外話）

23.4經驗曲線的内容：連通性、方向、曲率

23.5關於連續函數的柯西定義和經驗曲線類似到什麼程度

23.6連續函數的可積性

23.7關於最大值和最小值的存在定理

23.8 4個廣義導數

23.9魏爾斯特拉斯不可微函數； 它的形象概述

23.10魏爾斯特拉斯函數的不可微性

23.11“合理”函數

第二十四章函數的近似表示

24.1用合理函數近似表示經驗曲線

24.2用簡單解析式近似表示合理函數

24.3拉格朗日插值公式

24.4泰勒定理和泰勒級數

24.5用拉格朗日多項式近似表示積分和導函數

24.6關於解析函數及其在闡釋自然中的作用

24.7用有窮三角級數插值法

第二十五章進一步闡述函數的三角函數表示

25.1經驗函數表示中的誤差估計

25.2通過最小二乘法所得的三角級數插值

25.3調和分析儀

25.4三角級數舉例

25.5切比雪夫關於插值法的工作

第二十六章二元函數

26.1連續性

26.2偏導次序顛倒時2fxy≠2fyx的實例

26.3用球函數級數近似表示球面上的函數

26.4球函數在球面上的值分佈

26.5用有窮球函數級數作近似表示的誤差估計

第八部分平面曲線的自由幾何

第二十七章從精確理論觀點討論平面幾何

27.1關於點集的若干定理

27.2對兩個或多個不相交圓反演所產生的點集

27.3極限點集的性質

27.4二維連續統概念、一般曲線概念

27.5覆蓋整個正方形的皮亞諾曲線

27.6較狹義的曲線概念：若爾當曲線

27.7更狹義的曲線概念：正則曲線

27.8用正則理想曲線近似表示直觀曲線

27.9理想曲線的可感知性

27.10特殊理想曲線：解析曲線與代數曲線，代數曲線的格拉斯曼幾何產生法

27.11用理想圖形表現經驗圖形：佩里觀點

第二十八章繼續從精確理論觀點討論平面幾何

28.1對兩個相切圓的相繼反演

28.2對3個迴圈相切圓的相繼反演（“模圖形”）

28.3 4個迴圈相切圓的標準情况

28.4 4個迴圈相切圓的一般情况

28.5所得非解析曲線的性質

28.6這整個論述的前提，韋羅內塞的進一步理想化

第二十九章轉入應用幾何：A.測量學

29.1一切實際度量的不準確性，斯涅爾問題的實踐

29.2通過多餘的度量來確定準確度，最小二乘法的原則闡述

29.3近似計算，用關於球面小三角形的勒讓德定理來說明

29.4地球參攷橢面上最短線在測量學中的意義（附關於微分方程論的假設）

29.5關於水準面及其實際測定

第三十章續論應用幾何：B.作圖幾何

30.1關於作圖幾何中一種誤差理論的假設，用帕斯卡定理的作圖說明

30.2由經驗圖形推導理想曲線性質的可能性

30.3對代數曲線的應用，將要用到的關於代數的知識

30.4提出所要證明的定理：w′+2t〃=n（n-2）223

30.5證明中將採用的連續性方法

30.6有與無二重點的Cn之間的轉化

30.7符合定理的偶次曲線舉例

30.8奇次曲線的例子

30.9舉例說明證明中的連續性方法，證明的完成

第九部分用作圖和模型表現理想圖形

第三十一章用作圖和模型表現理想圖形

31.1無奇點空間曲線的形狀，以C3為例（曲線的投影及其切線曲面的平面截線）

31.2空間曲線的7種奇點

31.3關於無奇點曲面形狀的一般討論

31.4關於F3的二重點，特別是它的二切面重點和單切面重點

31.5 F3的形狀概述

呼籲：通過觀察自然，不斷修訂傳統科學結論

譯名對照表

譯後記