【概率導論】（第2版）

編輯推薦

√從直觀、自然的角度闡述概率

√適合理工科學生入門，便於自學

√配套網站提供習題參考答案

本書內容豐富，除了介紹概率論的基本知識點外，還介紹了矩母函數、小二乘估計、泊松過程、瑪律可夫過程和貝葉斯統計等內容。 書中示例豐富、圖文並茂，針對每節主題設計了相應的習題，還提供了部分難題的解答，便於讀者自學。

本書多年來在美國麻省理工學院、斯坦福大學、加州大學等名校被用作概率課程教材，經過課堂檢驗和眾多師生的迴響得以不斷完善，是一本在表述簡潔和推理嚴密之間取得優美平衡的經典作品。

內容簡介

本書基於麻省理工學院開設的概率論入門課程編寫，內容全面，例題和習題豐富，結構層

次性强，能够滿足不同讀者的需求。 書中介紹了概率模型、離散隨機變數和連續隨機變數、多元隨機變數以及極限理論等概率論基礎知識，還介紹了矩母函數、條件概率的現代定義、獨立隨機變數的和、小二乘估計等高級內容。

作者簡介

迪米特裡？ 伯特瑟卡斯（Dimitri P. Bertsekas）

美國工程院院士，IEEE會士。 1971年獲美國麻省理工學院電子工程博士學位。 長期在麻省理工學院執教，曾獲得2001年度美國控制協會J. Ragazzini教育獎。 他的研究領域涉及優化、控制、大規模計算、資料通信網絡等，許多研究具有開創性貢獻。 著有《非線性規劃》等十餘部教材和專著，其中許多被麻省理工學院等名校用作研究生或大學生教材。

約翰？ 齊齊克利斯（John N. Tsitsiklis）

美國工程院院士，IEEE會士，麻省理工學院教授。 分別於1980年、1981年、1984年在麻省理工學院獲得學士、碩士、博士學位。 他的研究成果頗豐，已發表學術論文上百篇。

譯者簡介

鄭忠國

1965年研究生畢業於北京大學。 曾任北京大學數學科學學院教授、博士生導師。 長期從事數理統計的教學和科研工作，主要研究方向有非參數統計、可靠性統計和統計計算，發表論文近百篇。 主持完成國家科研專案“不完全數據統計理論及其應用”，博士點基金項目“應用統計方法研究”和“工業與醫學中的應用統計研究”等。

童行偉

北京師範大學統計學院教授、博士生導師，主要從事生物統計、金融統計、穩健統計等領域的教學和研究工作。 2000年就讀於北京大學概率統計系，獲得統計學博士學位。 2005~2006年在美國密蘇裡大學哥倫比亞分校從事博士後研究工作。

目錄

第1章樣本空間與概率1

1.1集合2

1.1.1集合運算3

1.1.2集合的代數4

1.2概率模型4

1.2.1樣本空間和事件5

1.2.2選擇適當的樣本空間6

1.2.3序貫模型6

1.2.4概率律6

1.2.5離散模型8

1.2.6連續模型10

1.2.7概率律的性質11

1.2.8模型和現實13

1.3條件概率16

1.3.1條件概率是一個概率律17

1.3.2利用條件概率定義概率模型20

1.4全概率定理和貝葉斯準則25

1.5獨立性30

1.5.1條件獨立32

1.5.2一組事件的獨立性34

1.5.3可靠性35

1.5.4獨立試驗和二項概率36

1.6計數法38

1.6.1計數準則39

1.6.2 n選k排列40

1.6.3組合41

1.6.4分割43

1.7小結和討論45

1.8習題46

第2章離散隨機變數62

2.1基本概念62

2.2概率質量函數64

2.2.1伯努利隨機變數66

2.2.2二項隨機變數66

2.2.3幾何隨機變數67

2.2.4泊松隨機變數68

2.3隨機變數的函數69

2.4期望、平均值和方差70

2.4.1方差、矩和隨機變數的函數的期望值規則72

2.4.2平均值和方差的性質75

2.4.3常用隨機變數的平均值和方差77

2.4.4利用期望值進行決策79

2.5多個隨機變數的聯合概率質量函數80

2.5.1多個隨機變數的函數81

2.5.2多於兩個隨機變數的情况83

2.6條件85

2.6.1某個事件發生的條件下的隨機變數85

2.6.2給定另一個隨機變數的值的條件下的隨機變數87

2.6.3條件期望90

2.7獨立性95

2.7.1隨機變數和事件的獨立性95

2.7.2隨機變數之間的獨立性95

2.7.3多個隨機變數的獨立性99

2.7.4若干個獨立隨機變數之和的方差99

2.8小結和討論101

2.9習題103

第3章一般隨機變數121

3.1連續隨機變數和概率密度函數121

3.1.1期望125

3.1.2指數隨機變數126

3.2累積分佈函數128

3.3正態隨機變數132

3.4多個隨機變數的聯合概率密度函數138

3.4.1聯合累積分佈函數141

3.4.2期望141

3.4.3多於兩個隨機變數的情况142

3.5條件143

3.5.1以事件為條件的隨機變數143

3.5.2以另一個隨機變數為條件的隨機變數146

3.5.3條件期望150

3.5.4獨立性152

3.6連續貝葉斯準則155

3.6.1關於離散隨機變數的推斷156

3.6.2基於離散觀測值的推斷157

3.7小結和討論158

3.8習題159

第4章隨機變數的高級主題173

4.1匯出分佈173

4.1.1線性函數175

4.1.2單調函數177

4.1.3兩個隨機變數的函數179

4.1.4獨立隨機變數和——卷積183

4.1.5卷積的影像計算法186

4.2協方差和相關187

4.3再論條件期望和條件方差191

4.3.1條件期望作為估計量193

4.3.2條件方差194

4.4矩母函數197

4.4.1從矩母函數到矩199

4.4.2矩母函數的可逆性201

4.4.3獨立隨機變數和203

4.4.4聯合分佈的矩母函數206

4.5亂數個獨立隨機變數和206

4.6小結和討論209

4.7習題210

第5章極限理論224

5.1瑪律可夫和切比雪夫不等式225

5.2弱大數定律228

5.3依概率收斂230

5.4中心極限定理232

5.4.1基於中心極限定理的近似233

5.4.2二項分佈的棣莫弗－拉普拉斯近似235

5.5强大數定律237

5.6小結和討論239

5.7習題240

第6章伯努利過程和泊松過程249

6.1伯努利過程250

6.1.1獨立性和無記憶性251

6.1.2相鄰到達間隔時間254

6.1.3第k次到達的時間255

6.1.4伯努利過程的分裂與合併256

6.1.5二項分佈的泊松近似257

6.2泊松過程260

6.2.1區間內到達的次數262

6.2.2獨立性和無記憶性264

6.2.3相鄰到達時間265

6.2.4第k次到達的時間266

6.2.5泊松過程的分裂與合併268

6.2.6伯努利過程和泊松過程、隨機變數和270

6.2.7隨機插入的悖論271

6.3小結和討論273

6.4習題274

第7章瑪律可夫鏈284

7.1離散時間瑪律可夫鏈284

7.1.1路徑的概率287

7.1.2 n步轉移概率288

7.2狀態的分類291

7.3穩態性質294

7.3.1長期頻率解釋299

7.3.2生滅過程300

7.4吸收概率和吸收的期望時間303

7.4.1吸收的期望時間307

7.4.2平均首訪時間及回訪時間308

7.5連續時間的瑪律可夫鏈309

7.5.1利用離散時間瑪律可夫鏈的近似312

7.5.2穩態性質314

7.5.3生滅過程316

7.6小結和討論316

7.7習題318

第8章貝葉斯統計推斷340

8.1貝葉斯推斷與後驗分佈344

8.2點估計、假設檢驗、後驗概率準則350

8.2.1點估計352

8.2.2假設檢驗355

8.3貝葉斯小均方估計358

8.3.1估計誤差的一些性質363

8.3.2多次觀測和多參數情况364

8.4貝葉斯線性小均方估計365

8.4.1一次觀測的線性小均方估計365

8.4.2多次觀測和多參數情形369

8.4.3線性估計和正態模型369

8.4.4線性估計的變數選擇370

8.5小結和討論370

8.6習題371

第9章經典統計推斷381

9.1經典參數估計383

9.1.1估計量的性質383

9.1.2似然估計384

9.1.3隨機變數平均值和方差的估計388

9.1.4置信區間390

9.1.5基於方差近似估計量的置信區間391

9.2線性回歸395

9.2.1小二乘公式的合理性397

9.2.2貝葉斯線性回歸399

9.2.3多元線性回歸401

9.2.4非線性回歸402

9.2.5實際中的考慮403

9.3簡單假設檢驗404

9.4顯著性檢驗413

9.4.1一般方法413

9.4.2廣義似然比和擬合優度檢驗418

9.5小結和討論421

9.6習題422

索引433

附表438

標準常态分配錶440

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【概率論及其應用（卷1）第3版】

內容簡介

本書涉及面極廣，不僅討論了概率論在離散空間中的諸多課題，而且涉及了概率論在物理學、化學、生物學（特別是遺傳學）、博弈論及經濟學等方面的應用.書中主要內容有：樣本空間及其上的概率計算，獨立隨機變數之和的隨機起伏，事件的組合及條件概率，離散隨機變數及其數位特徵，大數定律，離散的瑪律可夫過程及其各種重要特徵，更新理論等.除正文外，本書還附有數百道習題.

作者簡介

[美]威廉·費勒（1907年7月1日—1970年1月14日）克羅地亞裔美國數學家，20世紀偉大的概率學家之一。 師從著名數學家希爾伯特和柯朗，年僅20歲就獲得格丁根大學的博士學位。 在生滅過程、隨機泛函、可列瑪律可夫過程積分型泛函的分佈、布朗運動與比特勢、超過程等方向上均成就斐然，對近代概率論的發展做出了卓越貢獻。 特別是他的兩本專著（《概率論及其應用》，共2卷），曾影響了世界各國幾代概率論及相關領域的人士。

目錄

第0章緒論：概率論的性質

0.1背景

0.2方法和步驟

0.3“統計”概率

0.4摘要

0.5歷史小記

第1章樣本空間

1.1經驗背景

1.2例子

1.3樣本空間、事件

1.4事件之間的關係

1.5離散樣本空間

1.6離散樣本空間中的概率預備知識

1.7基本定義和規則

1.8習題

第2章組合分析概要

2.1預備知識

2.2有序樣本

2.3例子

2.4子總體和分劃

2.5在占位問題中的應用

2.6超幾何分佈

2.7等待時間的例子

2.8二項式係數

2.9斯特林公式

2.10習題和例子

2.11問題和理論性的附錄

2.12二項式係數的一些問題和恒等式

第3章扔硬幣的起伏問題和隨機徘徊

3.1一般討論及反射原理

3.2隨機徘徊的基本記號及概念

3.3主要引理

3.4末次訪問與長領先

3.5符號變換

3.6一個實驗的說明

3.7和初過

3.8對偶性、的位置

3.9等分佈定理

3.10習題

第4章事件的組合

4.1事件之並

4.2在古典占位問題中的應用

4.3 N個事件中實現m件

4.4在相合與猜測問題中的應用

4.5雜錄

4.6習題

第5章條件概率、隨機獨立性.

5.1條件概率

5.2用條件概率定義的概率、罐子模型

5.3隨機獨立性

5.4乘積空間、獨立試驗

5.5在遺傳學中的應用

5.6伴性性狀

5.7選擇

5.8習題

第6章二項分佈與泊松分布.

6.1伯努利試驗序列

6.2二項分佈

6.3中心項及尾項

6.4大數定律

6.5泊松逼近

6.6泊松分布

6.7符合泊松分布的觀察結果

6.8等待時間、負二項分佈

6.9多項分佈

6.10習題

第7章二項分佈的正態逼近.

7.1常态分配

7.2預備知識：對稱分佈

7.3棣莫弗？ C拉普拉斯極限定理

7.4例子.

7.5與泊松逼近的關係

7.6大偏差

7.7習題

第8章伯努利試驗的無窮序列

8.1試驗的無窮序列

8.2賭博的長策

8.3波雷爾？ C坎特立引理

8.4强大數定律

8.5重對數律

8.6用數論的語言解釋

8.7習題

第9章隨機變數、期望值.

9.1隨機變數

9.2期望值

9.3例子及應用

9.4方差

9.5協方差、和的方差

9.6切比雪夫不等式

9.7柯爾莫哥洛夫不等式

9.8相關係數

9.9習題

第10章大數定律

10.1同分佈的隨機變數列

10.2大數定律的證明

10.3“公平”博弈論

10.4彼得堡博弈

10.5不同分佈的情况

10.6在組合分析中的應用

10.7强大數定律

10.8習題

第11章取整數值的隨機變數、母函數

11.1概論

11.2卷積

11.3伯努利試驗序列中的等待時與均等

11.4部分分式展開

11.5二元母函數

11.6連續性定理

11.7習題

第12章複合分佈、分支過程

12.1隨機個隨機變數之和

12.2複合泊松分布

12.3分支過程的例子

12.4分支過程的滅絕概率

12.5分支過程的總後代

12.6習題

第13章迴圈事件、更新理論

13.1直觀導引與例子

13.2定義

13.3基本關係

13.4例子

13.5遲延迴圈事件、一般性極限定理

13.6 E出現的次數

13.7在成功連貫中的應用

13.8更一般的樣型

13.9幾何等待時間的記憶缺損

13.10更新理論

13.11基本極限定理的證明

13.12習題

第14章隨機徘徊與破產問題

14.1一般討論

14.2古典破產問題

14.3博弈持續時間的期望值

14.4博弈持續時間和初過時的母函數

14.5顯式運算式

14.6與擴散過程的關係

14.7平面和空間中的隨機徘徊

14.8廣義一維隨機徘徊（序貫抽樣）

14.9習題

第15章瑪律可夫鏈

15.1定義

15.2直觀例子

15.3高階轉移概率

15.4閉包與閉集

15.5狀態的分類

15.6不可約鏈、分解5

15.7不變分佈

15.8暫留鏈

15.9週期鏈

15.10在洗牌中的應用

15.11不變測度、比率極限定理

15.12逆鏈、邊界

15.13一般的瑪律可夫過程

15.14習題

第16章有限瑪律可夫鏈的代數處理

16.1一般理論

16.2例子

16.3具有反射壁的隨機徘徊

16.4暫留狀態、吸收概率

16.5在迴圈時間中的應用

第17章簡單的依時的隨機過程

17.1一般概念、瑪律可夫過程

17.2泊松過程

17.3純生過程

17.4發散的生過程

17.5生滅過程

17.6指數持續時間

17.7等待隊列與服務問題

17.8倒退（向後）方程

17.9一般過程

17.10習題

習題解答

參考文獻

索引

人名對照表

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【概率論及其應用（卷2）第2版】

內容簡介

本書是威廉·費勒的著作《概率論及其應用（卷1）》的續篇。 第1、2、3、6章介紹了各種重要的分佈和隨機過程； 第7、8、16、17章討論大數定律、中心極限定理和無窮可分分佈； 第9、10章討論半群方法與無窮可分分佈、瑪律可夫過程的關係； 第11章為更新理論； 第12、18章論述隨機遊動及傅立葉方法的應用； 第13、14章論述拉普拉斯變換及其應用； 第19章為調和分析。

作者簡介

[美]威廉·費勒（1907年7月1日—1970年1月14日），克羅地亞裔美國數學家，20世紀偉大的概率學家之一。 師從著名數學家希爾伯特和柯朗，年僅20歲就獲得格丁根大學的博士學位。 在生滅過程、隨機泛函、可列瑪律可夫過程積分型泛函的分佈、布朗運動與比特勢、超過程等方向上均成就斐然，對近代概率論的發展做出了卓越貢獻。 特別是他的兩本專著（《概率論及其應用》，共2卷），曾影響了世界各國幾代概率論及相關領域的人士。

目錄

第1章指數密度與均勻密度

1.1引言

1.2密度和卷積

1.3指數密度

1.4等待時間的悖論、泊松過程

1.5倒楣事的持續時間

1.6等待時間與順序統計量

1.7均勻分佈

1.8隨機分裂

1.9卷積與覆蓋定理

1.10隨機方向

1.11勒貝格測度的應用

1.12經驗分佈

1.13習題

第2章特殊密度和隨機化

2.1符號與約定

2.2Γ分佈

2.3與統計學有關的分佈

2.4一些常用的密度

2.5隨機化與混合

2.6離散分佈

2.7貝塞爾函數與隨機遊動

2.8圓周上的分佈

2.9習題

第3章高維密度、正態密度與正態過程

3.1密度

3.2條件分佈

3.3再論指數分佈和均勻分佈

3.4常态分配的特徵

3.5矩陣記號、協方差矩陣

3.6正態密度與常态分配

3.7平穩正態過程

3.8瑪律可夫正態密度

3.9習題

第4章概率測度與概率空間

4.1貝爾函數

4.2區間函數與在Rr上的積分

4.3σ代數和可測性

4.4概率空間和隨機變數

4.5擴張定理

4.6乘積空間和獨立變數序列

4.7零集和完備化

第5章Rr中的概率分佈.

5.1分佈與期望

5.2預備知識

5.3密度

5.4卷積

5.5對稱化

5.6分部積分、矩的存在性

5.7切比雪夫不等式

5.8進一步的不等式、凸函數

5.9簡單的條件分佈、混合

5.10條件分佈

5.11條件期望

5.12習題

第6章一些重要的分佈和過程

6.1 R1中的穩定分佈

6.2例

6.3 R1中的無窮可分分佈

6.4獨立增量過程

6.5複合泊松過程中的破產問題

6.6更新過程

6.7例與問題

6.8隨機遊動

6.9排隊過程

6.10常返的和暫態的隨機遊動

6.11一般的瑪律可夫鏈

6.12鞅

6.13習題

第7章大數定律、在分析中的應用

7.1主要引理與記號

7.2伯因斯坦多項式、單調函數

7.3矩問題

7.4在可交換變數中的應用

7.5廣義泰勒公式與半群

7.6拉普拉斯變換的反演公式

7.7同分佈變數的大數定律

7.8强大數定律

7.9向鞅的推廣

7.10習題

第8章基本極限定理.

8.1測度的收斂性

8.2特殊性質

8.3作為運算元的分佈

8.4中心極限定理

8.5無窮卷積

8.6選擇定理

8.7瑪律可夫鏈的遍歷定理

8.8正則變化

8.9正則變化函數的漸近性質

8.10習題

第9章無窮可分分佈與半群

9.1概論

9.2卷積半群

9.3預備引理

9.4有限方差的情形

9.5主要定理

9.6例：穩定半群265

9.7具有同分佈的三角形陣列

9.8吸引域

9.9可變分佈、三級數定理

9.10習題

第10章瑪律可夫過程與半群

10.1偽泊松型

10.2一種變形：線性增量

10.3跳躍過程

10.4 R1中的擴散過程

10.5向前方程、邊界條件

10.6高維擴散

10.7從屬過程

10.8瑪律可夫過程與半群

10.9半群理論的“指數公式”

10.10生成元、向後方程

第11章更新理論

11.1更新定理

11.2更新定理的證明

11.3改進

11.4常返更新過程

11.5更新時刻的個數Nt .

11.6可終止（暫態）過程

11.7各種各樣的應用

11.8隨機過程中極限的存在性

11.9全直線上的更新理論

11.10習題

第12章R1中的隨機遊動.

12.1基本的概念與記號

12.2對偶性，隨機遊動的類型

12.3階梯高度的分佈、維納？ C霍普夫因數分解

12.4例

12.5應用

12.6一個組合引理

12.7階梯時刻的分佈

12.8反正弦定律

12.9雜錄

12.10習題

第13章拉普拉斯變換、陶伯定理、預解式

13.1定義、連續性定理

13.2基本性質

13.3例

13.4完全單調函數、反演公式

13.5陶伯定理

13.6穩定分佈

13.7無窮可分分佈

13.8高維情形

13.9半群的拉普拉斯變換

13.10希爾？ C吉田定理

13.11習題

第14章拉普拉斯變換的應用

14.1更新方程：理論

14.2更新型方程：例

14.3包含反正弦分佈的極限定理

14.4忙期與有關的分支過程.

14.5擴散過程

14.6生滅過程與隨機遊動

14.7柯爾莫哥洛夫微分方程

14.8例：純生過程.

14.9遍歷極限與首次通過時間的計算

14.10習題

第15章特徵函數

15.1定義、基本性質

15.2特殊的分佈，混合

15.3性，反演公式

15.4正則性

15.5關於相等分量的中心極限定理

15.6林德伯格條件

15.7高維特徵函數

15.8常态分配的兩種特徵

15.9習題

第16章與中心極限定理有關的展開式

16.1記號

16.2密度的展開式

16.3磨光

16.4分佈的展開式

16.5貝利？ C埃森定理

16.6在可變分量情形下的展開式

16.7大偏差

第17章無窮可分分佈

17.1無窮可分分佈

17.2標準型，主要的極限定理

17.3例與特殊性質

17.4特殊性質

17.5穩定分佈及其吸引域

17.6穩定密度

17.7三角形陣列

17.8類L

17.9部分吸引、“普遍的定律”

17.10無窮卷積

17.11高維的情形

17.12習題

第18章傅立葉方法在隨機遊動中的應用

18.1基本恒等式

18.2有限區間，瓦爾德逼近.

18.3維納？ C霍普夫因數分解.

18.4含義及應用.

18.5兩個較深刻的定理

18.6常返性準則

18.7習題

第19章調和分析

19.1帕塞瓦爾關係式

19.2正定函數

19.3平穩過程

19.4傅裡葉級數

19.5泊松求和公式

19.6正定序列

19.7 L2理論

19.8隨機過程與隨機積分

19.9習題

習題解答

參考文獻

索引

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【伊藤清概率論】

內容簡介

本書為日本數學家伊藤清創作的現代概率論著作。 書中以*小限度的預備知識為前提，以簡練的筆法系統講解了測度論基礎，以及現代概率論的基礎體系與概念，為引導讀者理解“隨機過程”，特別是Markov過程做了細緻準備。 此外，本書還展示了“伊藤引理”的構想原點，收錄了概率論發展的歷史過程。 對於背景知識較為薄弱的讀者，作者則從各章的主要脈絡上，為其準備了一條瞭解現代概率論輪廓的輕快之路。

本書適合相關專業的大學生、研究生和教師閱讀學習，也適合作為數學、物理、金融等領域的研究者的參考資料。

作者簡介

伊藤清1915—2008，日本數學家，日本學士院院士，日本京都大學教授。 隨機分析的創始人之一，日本概率論研究的奠基者。 曾任京都大學數理分析研究所所長，日本數學會理事長。 他因在概率論方面的奠基性工作而獲1987年的沃爾夫獎，並於1998年獲得京都獎，2006年獲得首届高斯獎。 伊藤清的工作集中於概率論，特別是隨機分析領域，他被譽為“現代隨機分析之父”，因他命名的理論有伊藤引理、伊藤積分、伊藤過程等。 他的研究不僅推動了現代數學的發展，還對物理學、經濟學、統計學等學科產生了深遠影響。 著有《概率論》《隨機過程》《我與概率論：伊藤清文集》等。

目錄

第1章概率論的基本概念1

1概率空間的定義1

2概率空間的實際意義3

3概率測度的簡單性質5

4事件，條件，推斷10

5隨機變數的定義12

6隨機變數的合成與隨機變數的函數15

7隨機變數序列的收斂性16

8條件概率、相依性與獨立性21

9平均值26

第2章實值隨機變數的概率分佈29

10實值隨機變數的表現29

11 R-概率測度的表現32

12 R-概率測度之間的距離33

13 R-概率測度集合的拓撲性質35

14 R-概率測度的數位特徵38

15獨立隨機變數的和，R-概率測度的卷積43

16特徵函數46

17 R-概率測度及其特徵函數的拓撲關係50

第3章概率空間的構成54

18建立概率空間的必要性54

19擴張定理（I）55

20擴張定理（II）57

21 Markov鏈59

第4章大數定律63

22大數定律的數學表現63

23 Bernoulli大數定律65

24中心極限定理66

25强大數定律69

26無規則性的含義73

27無規則性的證明76

28統計分佈81

29重對數律與遍歷定理82

第5章隨機變數序列84

30一般的問題84

31條件概率分佈85

32單純Markov過程與轉移概率族87

33遍歷問題的簡單例子89

34遍歷定理92

第6章隨機過程99

35隨機過程的定義99

36 Markov過程101

37時空齊次的Markov過程（I）103

38時空齊次的Markov過程（II）112

39一般Markov過程與平穩過程115

附錄1符號119

附錄2參考文獻121

附錄3後記與評注122

概要與背景124

索引144